ピンホール写真の数学

コサイン則で計算した通り、距離による光量比は \(\cos^2 \phi\) であり、ケラレや光束についても考慮に加えると \(\cos^3 \phi\) である。

計算するまでもないが、距離による光量比は \(I(\phi) \propto 1/f^2\) より \(I(\phi)/I(0) = 1.\) ケラレや光束についても考慮に加えると \(\cos \phi\) である。平像面と比べると、全領域で光量が増加していることがわかる。

円像面より、\(I(\phi)/I(0) = 1/\cos\phi\) となっていれば、ケラレや光束について考慮に加えると光量比は全域で 1 倍となる。このことから逆算して、 \(I(\phi) \propto 1/f^2\cos\phi = 1/(f\sqrt{\cos\phi})^2\) より、ピンホールからの距離の関数 \(r(\phi) = f\sqrt{\cos\phi}\) が求まる(極座標表示)。

パラメータ表示すると

\[ \begin{dcases} x(t) = f \sqrt{\cos t} \,\cos t \\ y(t) = f \sqrt{\cos t} \,\sin t \end{dcases} \]

より変形して

\[ \begin{aligned} x^{4/3}+\frac{y^2}{x^{2/3}}=f^{4/3} \end{aligned} \]

も求まる。

これは計算せずとも \(y(\Phi) = l/2\) の長さがすなわちそれである。だがここでは他の条件と同じように計算してこの結果が得られるかどうかを確かめよう。

\(x, y\) をパラメータ表示すると

\[ \begin{dcases} x(t) = f \\ y(t) = f \tan t \end{dcases} \]

であるから、

\[ \begin{dcases} \vphantom{\int}\frac{\partial x}{\partial t} = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial t} = f/\cos^2t. \end{dcases} \]

よって求める \(L\) は

\[ \begin{aligned} L &= \int_ {0}^ {\Phi} \sqrt{0^2 + \left( \frac{f}{\cos^2t} \right)^2} \,\mathrm{d}t \\ &= \int_ {0}^ {\Phi} \left| \frac{f}{\cos^2t}\right| \,\mathrm{d}t \\ &= \Bigl[ f\tan t \Bigr] _{0} ^{\Phi} \quad (\because \Phi \le \pi/2) \\ &= f \tan \Phi \\ &= y(\Phi) = l/2. \end{aligned} \]

拡大率は像のブレで考察した通りである。

これも円の弧長の公式を用いれば \(L = f\Phi\) であるのだが、計算してみる。

\(x, y\) をパラメータ表示すると

\[ \begin{dcases} x(t) = f \cos t \\ y(t) = f \sin t \end{dcases} \]

であるから、

\[ \begin{dcases} \vphantom{\int}\frac{\partial x}{\partial t} = -f \sin t \\ \frac{\partial y}{\partial t} = f \cos t. \end{dcases} \]

よって求める \(L\) は

\[ \begin{aligned} L &= \int_ {0}^ {\Phi} \sqrt{\left( -f \sin t \right)^2 + \left( f \cos t \right)^2} \,\mathrm{d}t \\ &= \int_ {0}^ {\Phi} f \,\mathrm{d}t \\ &= \Bigl[ ft \Bigr] _{0} ^{\Phi} \\ &= f \Phi. \end{aligned} \]

拡大率は、常にピンホールから等距離にあることから常に 1 倍である。

\(x, y\) をパラメータ表示してもよいが、式の簡単のため極座標形式を用いる。

\[ \begin{dcases} r(\phi) &= f\sqrt{\cos \phi} \\ \frac{\partial r}{\partial \phi} &= f\frac{-\sin\phi}{2\sqrt{\cos\phi}} \end{dcases} \]

より求める \(L\) は

\[ \begin{aligned} L &= \int _{0} ^{\Phi} \sqrt{\left( r(\phi) \right)^2 + \left( \frac{\partial r}{\partial \phi} \right)^2} \,\mathrm{d}\phi \\ &= \int _{0} ^{\Phi} \sqrt{\left( f\sqrt{\cos\phi} \right)^2 + \left( f\frac{-\sin\phi}{2\sqrt{\cos\phi}} \right)^2} \,\mathrm{d}\phi \\ &= f\int _{0} ^{\Phi} \sqrt{ \cos\phi + \frac{\sin^2\phi}{4\cos\phi} } \,\mathrm{d}\phi \\ &= f\int _{0} ^{\Phi} \sqrt{ \frac{1+3\cos\phi}{4\cos\phi} } \,\mathrm{d}\phi \end{aligned} \]

……とここまでは調子よく行くのだが、これから先は代数的に計算できない(少なくとも手計算と wolframalpha では)。なので代数的に解くのではなく数値計算で求める \(L\) を計測してみようと思う。 (後ほど気付いたが wolframalpha に実際の角度を積分範囲として計算すると実際の数値が得られた。)

積分計算のアルゴリズムはシンプソン法を用いた。

この表では一部のデータのみを取り出して示しているが、実際には 1° 間隔で計算した。元の関数の曲率も小さいため、 1° という大きめの区切りでも十分(有効 3 桁程度)に精度が出たと判断した。

以下の図は平像面・円像面・等光像面の画角と像の長さをプロットしたものである。それぞれ紫・緑・黄線で示した。ただし等光像面のもの(黄線)は以下の関数で近似したものである。

図より円像面と等光像面の像の長さは大きく異ならないことがわかる。便宜上円像面の像の長さを等光像面のものとして用いて問題ないかもしれない。

また、像のブレでも考察した通り、 \(L(\phi)\) の \(\phi\) での微分(つまり像の微少長さ)こそが拡大率であった。等光像面は 55° 付近では半径方向に約 93% の像の縮小が起こり、 70° 以降は像の拡大が始まる。しかしこれは平像面の拡大と比べると無視できる程度のものであり、実用では意図して像を観察しない限りは気付かない程度の歪みであると考えられる。

[2021-04-03 Sat] 以前の近似式(後半を改めた)

風景面 \(\Pi_o\), ピンホール面、平像面 \(\Pi_ {\mathrm{flat}}\) をぞれぞれ平行に置く。風景面 \(\Pi_o\) 上の座標は \(\Pi_o(X, Y)\) で与え、 \((X, Y) = (0, 0)\) からピンホールまでの距離は \(Z\) である。

平像面 \(\Pi_ \mathrm{flat}\) 上の座標は \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y)\) で与え、 \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y) = (0, 0)\) からピンホールまでの距離は \(f\) (焦点距離)である。ただし \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y)\) の方向は \(\Pi_o(X, Y)\) とは逆方向に定める。これはピンホールを通してできる像は倒立するから、考察のしやすさの為にそうした。

まずは極座標への変換を行う。 \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y)\) の各方向へ、ピンホールになす角を \((\phi, \psi)\) とすると、 \(\Pi_ \mathrm{flat}(f\tan\phi, f\tan\psi)\) と表せる。同様にして \(\Pi_o(Z\tan\phi, Z\tan\psi)\) と表せる (光は直進するためなす角は同じ)。

\(\Pi_o(X, Y)\) からピンホールまでの距離を \(K(\phi, \psi)\), \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y)\) からピンホールまでの距離を \(k(\phi, \psi)\) で表すとすると、

\[ \begin{aligned} K(\phi, \psi) &= \frac{Z}{\cos\phi \ \cos\psi}, \\ k(\phi, \psi) &= \frac{f}{\cos\phi \ \cos\psi}. \end{aligned} \]

\(\Pi_o(X, Y)\) にある十分小さな物体 \(\Delta A\) が、平像面 \(\Pi_ \mathrm{flat}(x, y)\) 上につくる像 \(\Delta a\) の比は、 \(K(\phi, \psi)\) と \(k(\phi, \psi)\) の比と等しい。よって、

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta A}{\Delta a} &= \frac{K(\phi, \psi)}{k(\phi, \psi)} \\ &= \frac{Z}{f}. \\ \therefore \Delta a &= \frac{f}{Z}\Delta A. \end{aligned} \]

よって平像面全域において、対象物の大きさと距離が同じなら、同じ大きさで像は写る。

平像面での議論を踏まえ、ここでは円像面 \(\Pi_ {\mathrm{circular}}\) を置く。風景面 \(\Pi_o\) はそのまま用いる。

極座標系で表現すると、 \(\Pi_ {\mathrm{circular}}(f\phi, f\tan\psi)\) とできる (平面をそのまま曲げられるのは一軸方向(今回は\(x\)軸方向)のみなので、\(y\)軸は平像面と同じ話になる)。

このときピンホールから \(\Pi_ {\mathrm{circular}}\) までの距離は、

\[ \begin{aligned} k(\phi, \psi) &= \frac{f}{\cos\psi}. \end{aligned} \]

よって、

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta A}{\Delta a} &= \frac{K(\phi, \psi)}{k(\phi, \psi)} \\ &= \frac{Z}{f \cos\phi} \\ \therefore \Delta a &= \frac{f}{Z}\Delta A\cos\phi. \end{aligned} \]

\(\cos\phi \le 1\ (0\le\phi\le\pi/2)\) であるから、平像面と比較すると小さな像が周辺部で得られることがわかる。

下のグラフは、平像の時と同じ格子を円像で捉えたものである(像の縦横比は長さで実寸比)。平像では黒線で示した 1 [mm] 格子が、円像では紫線で示すように歪む(金線は 0.5 [mm] の補線)。平像では\(x\)軸方向に十分長い像面が必要となるが、円像では比較的短い像面で広い画角をカバーすることができる。

平像面での議論を踏まえ、ここでは等光像面 \(\Pi_ {\mathrm{panlight}}\) を置く。風景面 \(\Pi_o\) はそのまま用いる。

極座標系で表現すると、 \(\Pi_ {\mathrm{panlight}}(p(\phi), f\tan\psi)\) とできる (\(p(\phi)\)はここで求めた)。

このときピンホールから \(\Pi_ {\mathrm{panlight}}\) までの距離は、

\[ \begin{aligned} k(\phi, \psi) &= \frac{f\sqrt{\cos\phi}}{\cos\psi}. \end{aligned} \]

よって、

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta A}{\Delta a} &= \frac{K(\phi, \psi)}{k(\phi, \psi)} \\ \therefore \Delta a &= \frac{f}{Z}\Delta A\cos ^{3/2}\phi. \end{aligned} \]

下のグラフは、平像の時と同じ格子を等光像で捉えたものである(像の縦横比は長さで実寸比)。円像と同様に、平像では黒線で示した 1 [mm] 格子が、等光像では緑線で示すように歪む(金線は 0.5 [mm] の補線)。左右の端では特に円像より強く歪むことが分かる。円像と同様に、比較的短い像面で広い画角をカバーすることができる上に、端での光量落ちを補償する曲像である。

なお、図 9 の作図において \(x=p(\phi)\) の逆関数 \(\phi = p ^{-1}(x)\) が必要であったので、これも \(p(\phi)\) を求めた時と同様に gnuplot の近似機能で求めた。

この図をよく見ると、 \(\phi=0°\) での\(y\)の値が 5.5–6 [mm] 程度の(画面外にある)曲線が、 \(\phi=70°\) では画面内に収まる位置に到達するほど歪んでいる。
虞らく \((x, y) = (1.2, 1.1)\) の位置はピンホールが像中央 \((0, 0)\) となす角が \(\theta=80°\) 以上あると思われ、その範囲はピンホールの設計が十分広角でないとカバーできない。

理想的なピンホールで、位置 \(x\) における光量比 \(B(\theta) \cos ^2\theta\) は \( \cos^3 (\phi), \ \phi =\tan ^{-1}(x/f)\) だから、

\[ S = \log _2 \left( \cos ^3 \left( \tan ^{-1} \left( \frac{x}{f} \right)\right)\right) \\ x = f \tan(\cos ^{-1}(\sqrt[3]{2^S})). \]

いくつかのピンホールカメラで計算したところ、像面の端はどれも -4 段ほどになっている。自作の際には目安になるだろう。

またピンホールの厚みが無視できない場合は、正確に求めるには繁雑な計算をする必要があるのだが、ここでは \(S = -6.5 [\mathrm{stops}]\) 程度なら近似できる係数をたまたま見つけたので紹介する。ピンホール直径 \(d\)、厚さ \(t\) の減光 \(S_\mathrm{thick}\) は:

\[ \begin{aligned} S_\mathrm{thick} &= 2 ^{2t/d} S \\ &= 2 ^{2t/d} \log _2 \left( \cos ^3 \left( \tan ^{-1} \left( \frac{x}{f} \right)\right)\right). \end{aligned} \]